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苦逼三种最小二乘法在工程测量中的应用-工程测量之家
作者: admin 发布: 2019-06-02 分类:全部文章 阅读: 791次
- 三种最小二乘法在工程测量中的应用-工程测量之家
前面公众号文章《直线的最小二乘拟合》、《如何进行平面拟合》、《平面拟合的第三种计算方法》、《圆的最小二乘拟合》、《圆球的最小二乘拟合》以及《布尔沙(Bursa)模型详解》、《四参数严密计算》、《优化与拟合在工程测量中的解读》均提到了最小二乘法八奇洞。本篇文章专题探讨最小二乘法在工程测量中的应用朱颜血系列。
01最小二乘法的发展历史最小二乘法由法国科学家勒让德于1806年独立发明(德国科学家高斯于1809年发表于他的著作《天体运动论》)我爱你很多 。1829年,高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明,因此被称为高斯-马尔可夫定理。(摘自百度百科)距离最早发明最小二乘法的72年后,Adcock(1878年)、Pearson(1901年)、Koopmans(1937年)在各自应用领域提出最小二乘法中存在的缺陷问题。距离最早缺陷问题提出的102年后,Golub等于1980年提出总体最小二乘法(Total Least Squares,简称TLS)的解决方法,在这之前的最小二乘法称为经典最小二乘法(Least Squares,简称LS)。(摘自同济大学教学ppt)后来,人们又提出TLS和LS的两种联合解决方法LS-TLS。
02三种方法的区别最小二乘法本是为解决超定方程的计算问题,在无解的情况下增加了一个条件:误差的平方和最小。三种计算方法的根本区别就在于Ax=b的误差源。LS计算误差只来源于b,而A是没有误差的,TLS计算认为A也是有可能有误差的黄雨桐,而LS-TLS认为A不是每一列都有误差,可以分有无两种情况分开来算。
03三种计算方法1、经典最小二乘法(LS)(略。前面介绍了很多恋曲哆来咪,详细可参阅有关数学书籍或误差理论书籍)2、总体最小二乘法(TLS)这种计算较为复杂何莉秀,目前采用对增广矩阵[A b]作SVD分解。SVD分解速度较慢,相比LS中矩阵乘法、求逆等慢了很多。目前对矩阵作SVD分解MATLAB速度不错希普曼,但不明具体算法,快速SVD分解目前还有很多人研究。求解过程:原型:Ax=b对增广矩阵[A b]作SVD分解,形成U,S,V矩阵,SVD分解满足如下定义:[A b]=U*S*V'V'为V的共轭转置,实数域即V的转置。
(原文公式有误,作了修改)
3、LS-TLS
将矩阵A分为有无误差两部分,分别按TLS、LS求解即可。
04效果比较
我们在Anew中,对直线拟合y=ax+b(一元线性规划)进行了LS、TLS实现赵弋。计算示例如下:
仅Y有误差(LS)
xy均有误差(TLS)
两种计算方式中的△d均为点到拟合直线的几何距离,残差中误差可以直接比较。从残差中误差可以看出,TLS拟合的直线在“残差平方和最小”的原则下更合理铳墓 。
05三种最小二乘法在工程测量中的应用
在工程测量中,大多数情况下TLS要合理一些,在坐标转换计算中,LS-TLS用得多一些(A中有固定纯量存在,无误差)。三种最小二乘法对于参数的计算影响并不是想象那么大,很小李羲儿,有时候可以忽略不计,只是从理论的严密上TLS更优,而TLS在计算速度上难以容忍于乃伟,期待SVD快速算法的研究突破,工程测量人员用MATLAB的时候并不多,电脑上老安装个庞大的MATLAB总觉得没必要。
06小结
要学习和体会LS、TLS、LS-TLS永生的和平鸽,非编程不可为,即便使用MATLAB,马翠霞也有编程的需要大云山汉墓 ,只是方便使用各种数学计算方法。对于测量人员,了解一些原理,知道有哪些方式存在,避免在面临实际应用时不知所措李察基尔。
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我不去想,是否能够成功,既然选择了远方,便只顾风雨兼程。 我不去想,能否赢得爱情,既然钟情于玫瑰,就勇敢地吐露真诚。 我不去想,身后会不会袭来寒风冷雨,既然目标是地平线,留给世界的只能是背影。 我不去想,未来是平坦还是泥泞,只要热爱生命, 一切,都在意料之中! |
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